另一种计算周期的方法，对于给定的自然数 >2，式(2)Arnold变换的周期m是使得下式成立的最小自然数n：
通过式(2)计算周期m。通过式(1)对水印进行置乱变换，通过周期减去迭代的次数，用此数据作为新的迭代次数，可以达到解密的目的。
文中选用的水印图像是32×32的具有“王”标识的二值图像。所以 =32，对水印置乱的次数k=6(如图1所示)，k可作为密钥，可看出置乱6次的效果比置乱3次的好，置乱度更强。通过上面的程序可以算出 =32时，周期m=24。所以开始对水印如果置乱了6次，那么在水印提取出来以后只要对水印再置乱24-6=18次即得到原来的水印图像。
5 水印的嵌入
本文采用的嵌入算法是基于小波域，在嵌入水印之前先对水印图像进行Arnold置乱处理，同时对读入的原始二值图像进行二级Haar小波分解，选择逼近子图系数cA2，对其进行修改嵌入水印信息，最后进行二级小波重构并二值化得到含水印的二值图像，完成水印的嵌入。水印嵌入过程流程图如图2所示：
具体步骤如下：
(1)．将原始图像I(Mc×Nc)进行二级小波分解，得到不同分辨率级别下的细节子图
和一个逼近子图LL2，其低频近似系数为cA2。
(2)．读取二值水印图像的各个像素值，记录水印图像的尺寸Mm×Nm(本实验中为32×32)，构成水印图像矩阵，并通过调用Arnold(I,6,0)函数来获得置乱6次后的图像。顺序读取置乱预处理后的图像矩阵各像素值，得到二维序列W。
(3)．选择小波变换后的低频子图中的系数cA2，对逼近子图系数修改进行水印嵌入处理，并生成与水印相关的二值逻辑表key(i, j)。先用叠加的方法将水印嵌入逼近子图小波系数cA2中，具体公式为cA2 = cA2 +αW，其中α为水印嵌入强度，本文取值为0.1。为了使得嵌入的水印有较好的鲁棒性和不可见性，根据低频逼近子图系数的大小，量化系数d的取值范围为0<d≤0.5，考虑到鲁棒性和不可见性，这里量化系数折中取值为0.25。经过水印嵌入处理和量化处理后的逼近子图系数为cA2’(i, j)。保存key(i, j)在下面提取相应的水印要用到，可将key(i, j)作为密钥向第三方申请，以获得原作品的版权。完成修改小波低频系数嵌入数字水印。
(4)．对嵌入后的图像进行二级Haar小波重构。由于对近似系数做了修改，小波逆变换后的系数可能不再是整数，为此，使用round函数取整，生成嵌入水印后的图像I’。
(5)．把嵌入水印后的灰度图像I’二值化，得到含水印的二值图像X，本算法选用较易实现的全局阈值法，选取的阈值为0.4。
6 水印的提取
本算法中的水印提取过程不需要用到原始图像，属于是盲水印算法。水印提取过程流程图如图3所示：
具体步骤如下：
(1)．对含有水印的二值图像X进行二级小波分解，得到不同分辨率级别下的细节子图和逼近子图，设逼近子图为
,其低频近似系数为cA2’。
(2)．根据嵌入水印时生成的逻辑表key(i, j)和含水印信息的逼近子图系数，求出嵌入的置乱后相应水印W(i, j)。水印的提取不需要原始二值图像,这有利于保护原始二值图像的安全。
(3)．利用Arnold变换迭代T-t次，完成水印图像的恢复。其中t为嵌入时的Arnold变换迭代次数，T为Arnold变换的周期。本实验中水印都是选择置乱6次，故对提取出的信息置乱18次即可恢复为原水印图像。
7 实验结果
为了验证算法的有效性和可靠性，所做仿真试验如下。原始图像是256×256的二值Lena图像。水印图像采用32×32的具有“王”标识的二值图像二值图像，如图1(a)所示。采用PSNR(Peak Signal to Noise Ratio，峰值信噪比)衡量水印嵌入后图像的质量，采用主观视觉评价提取水印与原始水印的相似性。图4(c)是嵌入水印后的图像(PSNR=42.83)，水印的不可见性良好，很难察觉水印的存在。图4(d)是提取的水印，在未受到任何攻击时，水印可以完全恢复。对嵌入水印后的图像进行二值化，这一操作在本实验中对提取的水印信息的完整性并没有产生影响。
下面从几个方面验证水印算法的鲁棒性。
(1)．剪切处理
考察水印图像遭到部分破坏后对水印检测的影响。图5是经过随机剪切和剪切左上角1/4后的水印图像及相应的水印检测结果。可见，算法对几何破坏有较好的鲁棒性，可以从部分图像中恢复出嵌入的水印。
(2)．加噪处理
对含有水印的图像分别加入椒盐噪声和Gauss噪声。图6给出了加噪声后的水印图像及检测结果。实验表明，高强度的噪声对水印的恢复干扰较为明显,并且对于一定功率下的噪声，Gauss噪声的干扰效果是最为严重的，但算法仍能较可靠的检测出嵌入的水印。
(3)．JPEG有损压缩
对嵌入水印后的图像，进行以图像压缩比从15%到75%的有损压缩，然后进行水印信息的检测，实验结果如图7所示。可以看出，算法对JPEG图像压缩有很好的鲁棒性。
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